2- L' Epistémologie des Mathématiques

2.1 La définition

L'épistémologie des mathématiques porte essentiellement sur la question de savoir quels sont les fondement des sciences mathématiques et quel est l'objet de cette science par rapport aux autres sciences.

Du point de vue de l'interrogation sur les fondements de cette science on distingue 4 écoles :
1 l'école empiriste qui voit dans le nombre et les figures le produit d'une inférence réalisée à partir de l'observation de la nature.
2 l'école idéaliste qui voit dans les objets mathématiques des entités existant indépendemment de l'esprit humain ou au contraire purement constituées par lui.
3 l'école intuitionniste qui affirme que les progrès en mathématiques se réalisent en dehors du cadre de la science logique.
4 l'école logiciste qui affirme que les mathématiques sont fondées sur la logique c'est à dire peuvent être ramenées à un certains nombre d'expressions logiques minimum et dérivées à partir d'elles.

Du point de vue de la nature et de l'objet de cette science deux grands types de conceptions sont à distinguer :
A celle des philosophes réalistes qui affirment que les nombres dont parlent les mathématiques sont des entités réelles qui existent dans un monde idéel " supérieur".
B celle des philosophes conventionnalistes qui pensent que les symboles mathématiques ne renvoient à aucune entité réelle mais sont de simples symboles conventionnels qui sont liés entre eux par la cohérence ces principes de déduction et par la rigueur des concepts et des postulats premiers qui sont au fondement de chaque théorie et qui ne désignent a priori aucune réalité transcendante ni extérieure.

2.2.Les diverse formes d'épistémologie des mathématiques

2.2.1 Le réalisme mathématique

Défendue dans l'antiquité par Platon puis par Frege et Russell au XX eme siècle, l'hypothèse réaliste en mathématique tend à démontrer qu'il existe nécessairement des entités qui correspondent aux idées que nous avons des nombres. Elle parvient à cette conclusion en montrant soit que sans cette hypothèse il n'est pas possible de rendre compte du nombre des objets réels qui existent dans le monde (sans idée intelligible du nombre 4 comment pourrions nous dénombrer 4 éléments dans la réalité : c'est l'argument de Platon) soit que sans cette hypothèse on contrevient à la définition de la vérité comprise comme adéquation entre le jugement et la chose (en effet si aucun objet ne correspond aux jugements de mathématique comment penser que la proposition 2+2 = 4 puisse être vraie : c'est l'argument de Russell)

2.2.2 l'épistémologie empiriste

Pour les philosophes empiristes tel que John Stuart Mill, les idées mathématiques ont nécessairement été induites de l'expérience (en grec " empeiria " dont dérive le terme empiriste signifie expérience). En effet si le nombre 1 a pu être construit c'est suite à l'observation d'un objet unique dans la nature (un arbre, un tabouret, un éléphant).
Quant à la géométrie elle dérive de l'art des arpenteurs et du besoin qu'avaient les premiers hommes de séparer les terrains qui leurs appartenaient afin de différencier les propriétés de chacun et de solutionner les problèmes de droit et les conflits inhérents à ces questions.
CCl : il ne peut y avoir d'autre fondement et d'autre origine à la mathématique que l'expérience (au sens où les objets mathématiques sont inférés de l'expérience).

2.2.3 L'intuitionnisme mathématique

La théorie intuitionniste porte sur ce qui est au fondement du raisonnement mathématique et de son développement : elle entend montrer que c'est sur l'intuition et non sur la réflexion analytique que reposent les grands systèmes d'arithmétique et de géométrie. Elle s'oppose à la conception purement logique qui tend à affirmer que c'est sur des principes analytiques purements rationnels et codifiables que se fonde le progrès de la réflexion mathématique.
Aussi étonnant que cela puisse paraître c'est Kant qui est le grand représentant de la pensée intuitionniste. Kant considère, en effet, que les jugements mathématiques ne sont pas analytiques c'est à dire que le concept de leur prédicat n'est pas analytiquement conçu dans celui de leur sujet (ex : le concept du nombre 12 n'est pas contenu a priori dans la somme de 7 et de 5). Pour le philosophe de Königsberg les propositions de mathématique sont des jugements synthétiques, c'est à dire qu'ils se fondent sur une conception implicite de l'espace (dans le cas de la géométrie) et du temps (dans le cas de l'arithmétique).
Compter reviendrait donc à faire une synthèse successive de nombres dans le temps et construire des objets géométriques à réaliser une synthèse successive de figures dans l'espace.
Tel est l'idée centrale de la conception intuitionniste qui veut que la mathématique soit une science qui ait recours à l'intuition et donc au domaine de la sensibilité ( entendue cependant en son sens abstrait ou " pur a priori " comme le dirait Kant).

2.2.4 Le logicisme

Défendue par Bertrand Russel la théorie logiciste traduit tout les concepts de mathématique en termes logiques. Elle affirme que les concepts de mathématique ne sont rien d'autre que des propositions et des notions traduisibles en termes logiques et qui peuvent être ramenés à un certain nombre de définitions et de principes de base à partie desquels toute théorie de mathématique peut être déduite
(l' arithmétique comme la géométrie).
Particulièrement complexe et raffinée cette théorie qui ne séduit plus aujourd'hui que certains philosophes se réclamant de l'école analytique a au moins le mérite de clarifier considérablement les notions communément utilisées en mathématiques.
De ce point de vue et même si l'ouvrage est difficile, il est passionnant de lire l'Introduction à la philosophie des mathématiques écrite par Bertrand Russell.

2.2.5 le conventionalisme

Le Mathématicien David Hilbert est le grand représentant de la pensée conventionaliste. En défendant l'idée simple selon laquelle les objets mathématiques ne renvoient à aucune entité réelle ou transcendante il s'est clairement opposé à toute représentation " réaliste " sur le plan métaphysique. Pour ce grand mathématicien les nombres et les figures mathématiques ne sont que des symboles ou des signes qui ne renvoient directement à aucune réalité sensible ou intelligible (ce sont des termes abstraits liés entre eux par des principes abstraits).
Très économique sur le plan de la teneur en entités métaphysiques, la conception conventionaliste rend parfaitement compte des multiples propriétés des nombres et des figures de mathématiques. Elle permet d'éviter de sombrer dans toute une série de problèmes théoriques qui, s'ils sont passionnants, sont néanmoins difficiles à résoudre.

2.3 Récapitulatif sur la notion d'épistémologie des mathématiques

Même si elle est aride cette discipline permet de pénétrer en profondeur la pensée des grands philosophes et il est clair que si l'on ne connaît pas par exemple la doctrine des mathématiques développée par Platon, par Kant ou Par Mill, on ne peut prétendre posséder une connaissance authentique de ces auteurs.

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